توان عملگری در ریاضی است که به صورت aⁿ نوشته می‌شود، به a پایه، و به n هم توان یا نما یا قوه می‌گویند. وقتی n عددی صحیح باشد، پایه، n بار در خود ضرب می‌شود:

همانطور که ضرب عملی است که عدد را n بار با خودش جمع می‌کند:

توان را به صورت a به توان n یا a به توان nام می‌خوانند، و همچنین می‌توان آن را برای اعداد به توان غیرصحیح هم تعریف کرد.

توانی با چندین پایه: قرمز به توان e, سبز به توان ده و بنفش به توان 1.7. توجه داشته باشید که همه آنها از (0, 1) می‌گذرند. هر نشانه در محورها یک واحد است.

توان معمولاً به صورت بالانویس در سمت راست پایه نشان داده می‌شود. توان عملی در ریاضیات است که در بسیاری علوم دیگر از جمله اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علم رایانه، در قسمت‌هایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک، موج و رمزنگاری استفاده می‌شود.

انسان چیست!!! انسان خود نوعی حیوان است از این رو با دیگر حیوانات مشترکات زیادی دارد. مانند: غذا خوردن ، تمایل به جنس مخالف و ... اما انسان دارای یک سلسله تفاوتها هم هست که باعث تمایز میان حیوان و انسان میشود. این تفاوتها باعث ارتقا یافتن رتبه ی انسان از حیوان شده و باعث شده به او مزیت و تعالی ببخشد. این تفاوت که باعث تمایز او میان حیوانات شده و همچنین باعث به وجود آمدن مسئله ای به نام "انسانیت شده است" ، در دو ناحیه است: 1- بینشها 2- گرایشها جانداران از این مزیت برخوردار هستند که میتوانند خود را و جهانی که در آن زندگی میکنند را درک کنند و به همین ترتیب سطح آگاهی شان نیز در همین حد رشد میکنند. این حیوانات در پرتو همین آگاهی ها و شناخت ها برای رسیدن به خواسته ها و مطلوبهایشان تلاش میکنند.انسان نیز به همین طریق است . یعنی انسان نیز در پرتو آگاهیها و شناختها تلاش میکند به خواسته ها و مطلوبهایش برسد. تفاوتش با حیوانات در شعاع و وسعت آگاهیها و شناختها و همچنین نوع خواسته ها و مطلوبها است. شعاع آگاهی های حیوان حیوان در سطح آگاهی ها در 4 حصاز زندانی است: 1- سطحی و ظاهری است: حیوان بر اساس حواسی که در او وجود دارد اشیا پیرامون خود را درک میکند. این حواس عبارتند از : لامسه – چشایی- شنوایی - بویایی – بینایی حیوان با حواس بینایی فقط میتواند ظاهر اشیاء را ببیند و دیگر از ظاهر اشیاء فراتر نمی رود. 2- فردی و جزیی است: منظور از فردی این است که فقط به خودش فکر میکند. و منظور از جزیی بودن این است که حیوان تمام جوانب را در نظر نمیگیرد. 3- منطقه ای است: مربوط به محیط زندگی حیوان است. برای مثال گرگی که در جنگلی زندگی میکند ، آگاهی هایی که کسب میکند با ناحیه ای که در آن زندگی میکند ربط دارد. 4- حالی است: یعنی سطح آگاهیهایش بسته به زمان حال است. مثلا حیوانات چیزی به اسم تجربه ندارند. آنها از تاریخ پیدایش خود چیزی نمیدانند. شعاع خواسته های حیوان سطح خواسته های حیوان مانند سطح آگاهیهایش در4 حصار می باشد که عبارتند از: - مادی است: یعنی نیاز حیوان چیزی جز مادیات مانند خوردن ، آشامیدن ، جفت پیدا کردن و غیره چیزی نمیباشد. - شخصی و فردی است: مربوط به خودش و نهایتا به همسر وفرزندان خودش میباشد. مثلا غذایی که برای خوردن پیدا میکند ، آن را برای دیگر همنوعانش نمیبرد. - منطقه ای است: برای مثال حیوانی مثل ببر کاری ندارد که در فلان جنگل چه حیوانی زندگی میکند. او فقط محیط زندگی خودش را میبیند و درهمین محیط به شکار حیوانات می پر دازد.یعنی پیش خودش نمیگوید که گوشت فلان حیوان در فلان جنگل برای شکار کردن خوب میابشد. - حالی است: یعنی حیوان آینده نگری نمیکند. مثل انسان نیست که برای زمان های آتی خود مواد غذایی پس انداز کند.حیوان هر وقت گرسنه شد به دنبال غذا میگردد.حال ممکن است که سوالاتی پیش بیاید. برای مثال چرا حیواناتی مانند زنبور عسل یا مورچه به طور دسته جمعی زندگی میکنند؟ ---شعاع آگاهی و سطح خواسته انسان : آگاهی انسان و شناخت او ، از ظواهر اشیاء و پدیده‏ها عبورمی‏کند و تا درون ذات و ماهیت آنها و روابط و وابستگیهای آنها و ضرورتهای حاکم بر آنها نفوذ می‏نماید. تاریخ گذشته خویش و جهان یعنی‏ تاریخ زمین ، آسمان ، کوهها ، دریاها ، گیاهان و جانداران دیگر را کشف‏ می‏کند و درباره آینده تا افقهای دوردست می‏اندیشد بالاتر این که انسان‏ اندیشه خویش را درباره بی‏نهایتها و جاودانگیها به جولان می‏آورد. قوانین کلی و حقایق عمومی و فراگیرنده جهان را کشف می‏کند و به این وسیله تسلط خویش را بر طبیعت مستقر می‏سازد . انسان موجودی است ارزشجو ، آرمانخواه و کمال مطلوبخواه ، آرمانهایی را جستجو می‏کند که مادی و از نوع سود نیست ، آرمانهایی که تنها به خودش و حداکثر همسر و فرزندانش اختصاص ندارد ، عام و شامل و فراگیرنده همه‏ بشریت است ، به محیط و منطقه خاص یا قطعه‏ای خاص از زمان محدود نمی‏گردد . انسان آنچنان آرمانپرست است که احیانا ارزش عقیده و آرمانش فوق همه‏ ارزشهای دیگر قرار می‏گیرد ، آسایش و خدمت به انسانها از آسایش خودش‏ با اهمیت‏تر می‏گردد ، خاری که در پای دیگران فرو برود مثل این است که در پا بلکه چشم خودش فرو رفته باشد ، با دیگران‏ همدرد می‏شود ، از شادی دیگران شاد و از اندوه آنان اندوهگین می‏گردد ، به‏ عقیده و آرمان مقدس خود آنچنان دلبستگی پیدا می‏کند که منافع خود ، بلکه‏ حیات و هستی خود را به سهولت فدای آن می‏نماید . ملاک امتیاز انسان بینش وسیع و گسترده انسان درباره جهان ، محصول کوشش جمعی بشر است که‏ در طی قرون و اعصار روی هم انباشته شده و تکامل یافته است این بینش که‏ تحت ضوابط و قواعد و منطق خاص در آمده نام " علم " یافته است علم به‏ معنی اعم یعنی مجموع تفکرات بشری درباره جهان که شامل فلسفه هم می‏شود محصول کوشش جمعی بشر است که نظم خاص منطقی یافته است . گرایشهای معنوی و والای بشر ، زاده ایمان و اعتقاد و دلبستگیهای او به‏ برخی حقایق در این جهان است که آن حقایق ، هم ماورای فردی است ، عام و شامل است ، و هم ماورای مادی است. این گرایشهای والا و معنوی و فوق حیوانی انسان آنگاه که پایه و زیربنای اعتقادی و فکری پیدا کند نام " ایمان " به خود می‏گیرد پس نتیجه می‏گیریم که تفاوت عمده و اساسی انسان با جانداران دیگر که‏ ملاک " انسانیت " او است و انسانیت وابسته به آن است ، علم و ایمان‏ است . درباره امتیاز انسان از جانداران دیگر سخن فراوان گفته شده است برخی‏ منکر امتیاز اساسی میان این نوع و سایر انواع هستند. این گروه انسان را از نظر خواسته‏ها و مطلوبها نیز یک حیوان تمام عیار می‏دانند بدون کوچکترین تفاوتی از این نظر برخی دیگر تفاوت او را در جان داشتن می‏دانند ، یعنی معتقدند جاندار و ذی حیات منحصر به انسان‏ است ، حیوانات دیگر نه احساس دارند و نه میل و نه درد و نه لذت ، ماشینهایی بی‏جان‏اند شبیه جاندار تنها موجود جاندار انسان است ، پس‏ تعریف حقیقی او آن است که موجودی است جاندار .دیگر اندیشمندان که‏ انسان را تنها جاندار جهان نمی‏دانند و به امتیازات اساسی میان او و سایر جانداران قائلند . هر گروهی به یکی از مختصات و امتیازات انسان توجه کرده‏اند از این رو انسان با تعبیرها و تعریفهای مختلف و متفاوتی تعریف شده است از قبیل : حیوان ناطق ( تعقل کننده ) ، مطلق طلب ، لایتناهی ، آرمانخواه ، ارزشجو ، حیوان ماوراء الطبیعی ، سیری ناپذیر ، غیر معین ، متعهد و مسؤول ، آینده‏نگر ، آزاد و مختار ، عصیانگر ، اجتماعی ، خواستار نظم ، خواستار زیبایی ، خواستار عدالت ، دو چهره و........این تفاوتها بدیهیست امااگربخواهیم تفاوت اساسی انها رادکرکنیم همان به که از علم و ایمان یاد کنیم و بگوئیم انسان حیوانی است که با دو امتیاز " علم‏ و ایمان " از دیگر جانداران امتیاز یافته است . آیا انسانیت رو بناست ؟ وجوه مشترک انسان با حیوان ، و وجوه امتیاز او از حیوان سبب شده که‏ انسان دارای دو زندگی باشد ، زندگی حیوانی و زندگی انسانی ، و به تعبیر دیگر زندگی مادی و زندگی فرهنگی . آنچه وجود دارد جامعه شناسانه است یا روانشاسانه ویااقتصادی واینکه آیا این علوم پایه انسانی دارند وزیربنایی هستند.وانسان خوداصالتی ندارد؟بحثی فلسفی درباره‏ انسان و واقعیت و اصالت آن که امروز به نام اصالت انسان یا اومانیسم‏ خوانده می شودو اینکه انسانیت انسان به هیچ وجه اصالت‏ ندارد ، تنها حیوانیتش اصالت دارد و بس ، انسان از اصالتی به نام‏ انسانیت در برابرحیوانیت خویش برخوردار نیست یعنی نظر همان گروه تایید می‏شود که منکر یک تمایز اساسی میان انسان و حیوان‏اند .طبق این نظریه نه تنها اصالت گرایشهای انسانی ، اعم از حقیقت گرائی ، خیرگرائی ، زیبائی گرائی و خداگرائی نفی می‏شود ، اصالت واقعگرائی از دید انسان درباره جهان و واقعیت نیز نفی می‏شود زیرا هیچ دیدی نمی‏تواند فقط "دید " باشد ، بی‏طرفانه باشد ، هر دیدی یک گرایش خاص مادی را منعکس می‏کند و جز این نمی‏تواند باشد . یک فرد انسان تکامل یافته فردی است که برمحیط بیرونی و درونی خود تسلط نسبی دارد فرد تکامل یافته یعنی وارسته از محکومیت محیط بیرونی و درونی ، و وابسته به عقیده و ایمان . تکامل جامعه نیز عینا به همان صورت رخ می‏دهد که تکامل روح در دامن جسم‏ و تکامل انسانیت " فرد " در دامن حیوانیت او صورت می‏گیرد . نطفه جامعه بشری بیشتر با نهادهای اقتصادی بسته می‏شود جنبه‏های فرهنگی و معنوی جامعه بمنزله روح جامعه است همانطور که میان جسم و روح تاثیر متقابل هست ،میان روح جامعه و اندام آن یعنی میان نهادهای معنوی‏ و نهادهای مادی آن چنین رابطه‏ای برقرار هست همانطور که سیر تکاملی فرد به سوی آزادی و استقلال و حاکمیت بیشتر روح است ، سیر تکاملی جامعه نیز چنین است یعنی جامعه انسانی هر اندازه متکامل‏تر بشود ، حیات فرهنگی ، استقلال و حاکمیت بیشتری بر حیات مادی آن پیدا می‏کند انسان آینده ، حیوان فرهنگی است نه حیوان اقتصادی انسان آینده ، انسان عقیده و ایمان و مسلک است نه انسان شکم و دامن . بشر در مجموع حرکات خود ، هم از نظر مادی و هم از نظر معنوی رو به پیش است حرکت تکاملی بشر از نظر معنوی یک‏ حرکت یکنواخت روی خط مستقیم نیست ، حرکتی است که گاهی انحراف به‏ راست یا به چپ دارد ، توقف و احیانا بازگشت دارد ، ولی در مجموع خود یک حرکت پیشرو و تکاملی است این است که می‏گوئیم انسان آینده حیوان‏ فرهنگی است نه حیوان اقتصادی ، انسان آینده انسان عقیده و ایمان است نه‏ انسان شکم و دامن . انسان آینده در عین اینکه از طبیعت و از مواهب‏ وجود خود بیشتر بهره‏برداری خواهد کرد ، از اسارت طبیت و از اسارت قوای‏ حیوانی خود بالنسبه آزادتر و بر حاکمیت خود بر خودو بر طبیعت خواهد افزود . واقعیت انسانی ، هر چند همراه و در دامن تکامل حیوانی‏ و مادی او رخ می‏نماید ، به هیچ وجه سایه و انعکاس و تابعی از تکامل مادی‏ او نیست ، خود واقعیتی است مستقل و تکامل یابنده. علم و ایمان رابطه علم و ایمان : تااینجا معلوم شدکه علم و ایمان دو رکن از ارکان اساسی انسانیت انسان است اکنون می‏خواهیم ببینیم این دو رکن و این دو وجهه انسانیت ، خود با یکدیگر چه رابطه‏ای دارند یا می‏توانند داشته باشند . متاسفانه در جهان مسیحیت ، به واسطه برخی قسمتهای تحریفی عهد عتیق(تورات ) اندیشه‏ای در اذهان رسوخ یافته است که هم برای علم گران تمام‏ شده و هم برای ایمان آن اندیشه ، و آن اندیشه تضاد علم و ایمان است. طبق این برداشت از انسان و خدا و آگاهی و عصیان ، امرخدا ( دین ) این است که انسان عارف نیک و بد نگردد و آگاه نشود ، شجره‏ ممنوعه ، شجره آگاهی است ، انسان با عصیان و تمرد امر خدا ( با سرپیچی‏ از تعلیمات شرایع و پیامبران ) به آگاهی ومعرفت می‏رسد و به همین دلیل‏ از بهشت خدا رانده می‏شودو شیطان‏ وسوسه‏گر ، همان عقل است. برای ما مسلمانان که از قرآن آموخته‏ایم سنت به ما آموخته است که شجره ممنوعه ، طمع ، حرص و چیزی از این مقوله‏ بود یعنی چیزی که به حیوانیت آدم مربوط می‏شد نه به انسانیت او ، و شیطان وسوسه‏گر همواره بر ضد عقل و مطابق هوای نفس حیوانی وسوسه می‏کند و آنچه در وجود انسان مظهر شیطان است ، نفس اماره است نه عقل آدمی ، آری‏ برای ما که چنین آموخته‏ایم ، آنچه در سفر پیدایش می‏بینیم سخت شگفت‏آور است . همین برداشت است که تاریخ تمدن اروپا را در هزارو پانصد سال اخیر به‏ (عصر ایمان و عصر علم )تقسیم می‏کند ، و علم و ایمان را در مقابل یکدیگر قرار می‏دهد. در صورتی که تاریخ تمدن اسلامی تقسیم می‏شود به 1- عصر شکوفائی‏ که عصر علم و ایمان است 2- عصر انحطاط که علم و ایمان تواما انحطاط یافته‏اند. آیا انسان محکوم است که همیشه نیمه‏ انسان بماند و در هر دوره‏ای فقط نیمی از انسانیت را داشته باشد ؟ آیا همیشه محکوم به یکی از دو نوع بدبختی است : بدبختیهای ناشی از جهل و نادانی ،وبدبختیهای ناشی از بی ایمانی؟ در رابطه علم و ایمان از دو ناحیه می‏توان سخن گفت : یکی اینکه آیا تفسیر و برداشتی که ایمانزا و آرمانخیز باشد و در عین حال مورد تایید منطق باشد وجود دارد یاتمام تفکراتی که علم و فلسفه به ما می‏دهد همه بر ضد ایمانها و دلبستگیها و امیدها و خوشبینی‏ها است ؟ این همان مساله‏ای است که بعدا تحت عنوان جهان بینی درباره آن‏ گفتگو خواهیم کرد. ناحیه دیگر ، ناحیه تاثیرات علم از یک طرف ، و ایمان از طرف دیگر بر روی انسان است آیا علم به چیزی می‏خواند و ایمان به چیز دیگری ضد آن ؟ علم به ما روشنائی و توانائی می‏بخشد و ایمان عشق و امید و گرمی ، علم‏ ابزار می‏سازد و ایمان مقصد ، علم سرعت می‏دهد و ایمان جهت ، علم توانستن‏ است و ایمان خوب خواستن ، علم می‏نمایاند که چه هست و ایمان الهام‏ می‏بخشد که چه باید کرد ، علم انقلاب برون است و ایمان انقلاب درون ، علم‏ جهان را جهان آدمی می‏کند و ایمان روان را روان آدمیت می‏سازد ، علم وجود انسان را به صورت افقی گسترش می‏دهد و ایمان به شکل عمودی بالا می‏برد ، علم طبیعت ساز است و ایمان انسان ساز هم علم به انسان نیرو می‏دهد ، هم‏ ایمان ، اما علم نیروی منفصل می‏دهد و ایمان نیروی متصل علم زیبائی است و ایمان هم زیبائی است علم زیبائی عقل است و ایمان زیبائی روح ، علم‏ زیبائی اندیشه است و ایمان زیبائی احساس هم علم به انسان امنیت می‏بخشد و هم ایمان علم امنیت برونی می‏دهد و ایمان امنیت درونی علم در مقابل‏ هجوم بیماریها ، سیلها ، زلزله‏ها ، طوفانها ، ایمنی می‏دهد ، و ایمان در مقابل اضطرابها ،تنهائیها ، احساس بی پناهی‏ها ، پوچ انگاری‏ها علم جهان را با انسان‏ سازگار می‏کند و ایمان انسان را با خودش . نیاز انسان به علم و ایمان تواما،سخت توجه اندیشمندان را اعم از مذهبی و غیر مذهبی برانگیخته است . محتوای انسانی ادبیات عرفانی ما ناشی از نوعی تفکر درباره جهان و انسان است که همان تفکر اسلامی است اگر روح اسلامی را از این شاهکارهای ادبی بگیریم تفاله‏ای و اندام مرده‏ای بیش باقی نمی‏ماند . جانشینی علم و ایمان آیا ممکن است این دو جای‏ یکدیگر را پر کنند ؟بدیهی است که نه علم می‏تواند جانشین‏ ایمان گردد که علاوه بر روشنائی و توانائی ، عشق و امید ببخشد ، سطح‏ خواسته‏های ما را ارتقاء دهد و علاوه بر اینکه ما را در رسیدن به مقاصد و هدفها و در پیمودن راه به سوی آن مقاصد و اهداف مدد می‏دهد ، مقاصد و آرمانها و خواسته‏هائی از ما را که به حکم طبیعت و غریزه بر محور فردیت‏ و خودخواهی است از ما بگیرد و در عوض ، مقاصد و آرمانهایی به مابدهد بر محور عشق و علاقه‏های معنوی و روحانی ، و علاوه بر اینکه ابزاری‏ است در دست ما جوهر و ماهیت ما را دگرگون سازد ، و نه ایمان می‏تواند جانشین علم گردد ، طبیعت را به ما بشناساند ، قوانین آن را بر ما مکشوف‏ سازد و خود ما را به ما بشناساند . علم بدون ایمان نیز تیغی است در کف زنگی مست ، چراغی است در نیمه‏ شب در دست دزد برای گزیده‏تر بردن کالا این است که انسان عالم بی ایمان‏ امروز ، با انسان جاهل بی ایمان دیروز ، از نظر طبیعت و ماهیت رفتارها و کردارها کوچکترین تفاوتی ندارد . قدرت و توانائی علم ، از نوع قدرت و توانائی ابزار است ، یعنی بستگی دارد به‏ اراده و فرمان انسان انسان در هر ناحیه بخواهد کاری انجام دهد با ابزار علم بهتر می‏تواند انجام دهد ،این است که می‏گوییم علم بهترین مدد کار انسان است برای وصول به مقاصد و پیمودن راههائی که انسان برای طی کردن‏ انتخاب کرده است . دو سه قرن گذشته را می‏توان دوره (پرستش علم و گریز از ایمان) دانست‏ دانشمندان بسیاری معتقد شدند که همه مشکلات بشر با سرانگشت علم گشوده‏ خواهد شد ، ولی تجربه خلاف آن را ثابت کرد امروز دیگر اندیشمندی یافت‏ نمی‏شود که نیاز انسان را به نوعی ایمان ولو ایمان غیر مذهبی که به هر حال‏ امری ماورا علم است انکار کند . ایمان مذهبی انسان نمی‏تواند بدون داشتن ایده و آرمان و ایمان ، زندگی سالم داشته باشد و یا کاری مفید و ثمر بخش برای بشریت و تمدن بشری انجام دهد انسان فاقد هرگونه ایده و ایمان ، یا به صورت‏ موجودی غرق در خودخواهی در می‏آید که هیچوقت از لاک منافع فردی خارج‏ نمی‏شود ، و یا به صورت موجودی مردد و سرگردان که تکلیف خویش را در زندگی در مسائل اخلاقی و اجتماعی نمی‏داند انسان دائما با مسائل اخلاقی و اجتماعی برخورد می‏نماید و ناچار باید عکس العمل خاصی در برابر اینگونه‏ مسائل نشان بدهد انسان اگر به مکتب و عقیده و ایمانی پیوسته باشد تکلیفش روشن است ، و اما اگر مکتب و آئینی تکلیفش را روشن نکرده باشد همواره مردد و سرگردان به سر می‏برد. آن چیزی که لازم است مورد توجه واقع شود این است که تنها ایمان مذهبی‏ قادر است که انسان را به صورت یک " مؤمن " واقعی در آورد ، هم‏ خودخواهی و خودپرستی را تحت الشعاع ایمان و عقیده و مسلک قرار دهد ، و هم نوعی " تعبد " و " تسلیم " در فرد ایجاد کند. گرایشهای ایمانی مذهبی موجب آن است که انسان تلاشهائی علی رغم‏ گرایشهای طبیعی فردی انجام دهد و احیانا هستی و حیثیت خود را در راه‏ ایمان خویش فدا سازد. گاهی افرادی تحت فشار عقده‏ها ، کینه توزی‏ها ، انتقام گیری‏ها و بالاخره به صورت عکس العمل شدید در برابر احساس فشارها و ستمها ، دست به فداکاری می‏زنند و از جان و مال و همه‏ حیثیات خود می‏گذرند. تفاوت یک ایده مذهبی و غیر مذهبی این است که آنجا که پای عقیده‏ مذهبی به میان آید و به ایده قداست ببخشد ، فداکاریها از روی کمال رضایت و به طور طبیعی صورت می‏گیرد. ثانیا اگر جهان بینی انسان ، صرفا جهان بینی مادی و براساس انحصار واقعیت در محسوسات باشد ، هر گونه ایده پرستی و آرمانخواهی اجتماعی و انسانی برخلاف واقعیات محسوسی است که انسان در آن هنگام در روابط خود با جهان احساس می‏کند . ایمان مذهبی تنها یک سلسله تکالیف برای انسان علی رغم تمایلات طبیعی‏ تعیین نمی‏کند ، بلکه قیافه جهان را در نظر انسان تغییر می‏دهد. آثار و فوائد ایمان: تولستوی نویسنده متفکر روسی می‏گوید : ایمان آن چیزی است که مردم با آن زندگی می‏کنند . حکیم ناصرخسرو علوی خطاب به فرزندش می‏گوید : ز دنیا روی زی دین کردم ایراک مرا بی دین ، جهان چه بود و زندان ایمان مذهبی آثار نیک فراوان دارد چه از نظر تولید بهجت و انبساط ، و چه از نظر نیکو ساختن روابط اجتماعی ، و چه از نظر کاهش و رفع ناراحتیهای ضروری که لازمه ساختمان این جهان است. الف . بهجت و انبساط: اولین اثر ایمان مذهبی ، از نظر بهجت زائی و انبساط آفرینی " خوشبینی‏" است ، خوشبینی به جهان و خلقت و هستی ایمان مذهبی از آن جهت که‏ تلقی انسان را نسبت به جهان شکل خاص می‏دهد به این نحو که آفرینش را هدفدار و هدف را خیر و تکامل و سعادت معرفی می‏کند. دومین اثر ایمان مذهبی از نظر بهجت زائی و انبساط آفرینی ، " روشندلی‏ " است انسان همینکه به حکم ایمان مذهبی جهان را به نور حق و حقیقت‏ روشن دید ، همین روشن بینی ، فضای روح او را روشن می‏کند و در حکم چراغی‏ می‏گردد که در درونش روشن شده باشد. سومین اثر ایمان مذهبی از نظر تولید بهجت و انبساط ، " امیدواری " به نتیجه خوب تلاش خوب است . از نظر منطق مادی ، جهان نسبت به مردمی که در راه صحیح و یا راه باطل‏ ، راه عدالت یا راه ظلم راه درستی یا راه نادرستی می‏روند بی طرف و بی‏ تفاوت است ، نتیجه کارشان بسته است تنها به یک چیز " مقدار تلاش " و بس . چهارمین اثر ایمان مذهبی از نظرگاه بهجت و انبساط ، آرامش خاطر است‏ انسان فطرتا جویای سعادت خویش است ، از تصور وصول به سعادت غرق در مسرت می‏گردد ، و از فکر یک آینده شوم و مقرون به محرومیت لرزه‏ براندامش می‏افتد. آنچه مایه سعادت‏ می‏گردد دو چیز است : . 1 تلاش . . 2 اطمینان به شرایط محیط . یکی دیگر از آثار ایمان مذهبی از جنبه انبساط بخشی ، برخورداری بیشتر از یک سلسله لذتها است که لذت معنوی نامیده می‏شود انسان دو گونه لذت‏ دارد : یک نوع ، لذتهائی است که به یکی از حواس انسان تعلق دارد که در اثر برقراری نوعی ارتباط میان یک عضو از اعضاء با یکی از مواد خارجی‏ حاصل می‏شود ، مانند لذتی که چشم از راه دیدن و گوش از راه شنیدن و دهان‏ از راه چشیدن و لامسه از راه تماس می‏برد نوع دیگر ، لذتهائی است که با عمق روح و وجدان آدمی مربوط است و به هیچ عضو خاص مربوط نیست و تحت‏ تاثیر برقراری رابطه با یک ماده بیرونی حاصل نمی‏شود مانند لذتی که انسان‏ از احسان و خدمت ، یا از محبوبیت و احترام ، و یا از موفقیت خود یا موفقیت فرزند خود می‏برد که نه به عضو خاص تعلق دارد و نه تحت تاثیر مستقیم یک عامل مادی خارجی است . ب . نقش ایمان در بهبود روابط اجتماعی: انسان مانند برخی از جانداران دیگر ، اجتماعی آفریده شده است ، فرد به‏ تنهائی قادر نیست نیازهای خویش را برطرف سازد ، زندگی باید به صورت‏ یک " شرکت " درآید که همه در وظایف و بهره‏ها سهیم باشند و یک نوع‏ " تقسیم کار " میان افراد برقرار شود ، با این تفاوت میان انسان و سایر جاندارهای اجتماعی مانند زنبور عسل که در آنها تقسیم کار و وظیفه به‏ حکم غریزه و به فرمان طبیعت صورت گرفته است ، و امکان هر نوع تخلف و سرپیچی از آنها گرفته شده است ، بر خلاف انسان که موجودی آزاد و مختار است و کار خویش را آزادانه و به عنوان " وظیفه " و " تکلیف " باید انجام دهد. ج . کاهش ناراحتیها: زندگی بشر ، خواه‏ناخواه همچنانکه خوشیها ، شیرینیها ، به دست آوردن‏ها و کامیابیها دارد ، رنجها ، مصائب ، شکستها ، از دست دادن‏ها ، تلخیها و ناکامیها دارد بسیاری از آنها قابل پیشگیری یا برطرف کردن است هر چند پس از تلاش زیاد بدیهی است که بشر موظف است با طبیعت پنجه نرم کند ، تلخیها را تبدیل به شیرینی نماید اما پاره‏ای از حوادث جهان قابل پیشگیری‏ و یا برطرف ساختن نیست ، مثلا پیری انسان خواه‏ناخواه به سوی پیری گام بر می‏دارد و چراغ‏ عمرش رو به خاموشی می‏رود. مکتب ، ایدئولوژی: مکتب یا ایدئولوژی چیست و چگونه تعریف می‏شود ؟ فعالیتهای انسان دو گونه است : التذاذی و تدبیری . فعالیتهای التذاذی :همان فعالیتهای ساده‏ای است که انسان تحت تاثیر مستقیم غریزه و طبیعت و یا عادت - که طبیعت ثانوی است - برای رسیدن‏ به یک لذت و یا فرار از یک رنج انجام می‏دهد مثلا تشنه می‏شود و به سوی‏ ظرف آب دست می‏برد ، گزنده‏ای می‏بیند و پا به فرار می‏گذارد ، میل شدید به سیگار پیدا می‏کند و سیگار آتش می‏زند. فعالیتهای تدبیری :کارهائی است که خود آن کارها جاذبه یا دافعه‏ای‏ ندارند و غریزه و طبیعت ، انسان را به سوی آن کارها نمی‏کشاند و یا از آنها دور نمی‏سازد ، انسان را به حکم عقل و اراده به خاطر مصلحتی که در آنها نهفته است و یا به خاطر مصلحتی که در ترک آنها می‏بیند آنها را انجام می‏دهد یا ترک می‏کند ، یعنی علت غائی و نیروی محرک و برانگیزاننده انسان مصلحت است نه لذت لذت را طبیعت تشخیص می‏دهد و مصلحت را عقل لذت برانگیزاننده میل است و مصلحت برانگیزاننده اراده‏ انسان از کارهای التذاذی در حین انجام کار لذت می‏برد ولی از کارهای‏ مصلحتی لذت نمی‏برد . عقل و اراده هر اندازه نیرومندتر باشند فرمان خود را بهتر بر طبیعت - علی رغم تمایلاتش - تحمیل می‏نمایند . انسان در فعالیتهای تدبیری خود همواره یک طرح و نقشه و یک تئوری را در مرحله عمل پیاده می‏کند انسان هر اندازه از ناحیه عقل و اراده تکامل‏ یافته‏تر باشد ، فعالیتهایش بیشتر تدبیری است تا التذاذی .انسان در فعالیتهای تدبیری خود همواره یک طرح و نقشه و یک تئوری را در مرحله عمل پیاده می‏کند انسان هر اندازه از ناحیه عقل و اراده تکامل‏ یافته‏تر باشد ، فعالیتهایش بیشتر تدبیری است تا التذاذی وحیوان درست عکس این قضیه می باشد. انسان از بدو پیدایش ، لااقل از دوره‏ای که رشد و توسعه زندگی اجتماعی‏ منجر به یک سلسله اختلافات شده است نیازمند به ایدئولوژی - و به‏ اصطلاح قرآن " شریعت " - بوده است هر چه زمان گذشته و انسان رشد کرده‏ و تکامل یافته است ، این نیاز شدیدترشده است. در گذشته ، گرایشهای خونی‏ و نژادی و قومی و قبیله‏ای و ملی ، مانند یک " روح جمعی " بر جوامع‏ انسانی حاکم بود این روح به نوبه خود یک سلسله (آرمانهای جمعی ( ولو غیرانسانی به وجود می‏آورد ، و به جامعه وحدت و جهت می‏داد رشد و تکامل‏ علمی و عقلی ، آن پیوندها را سست کرده است علم به حکم خاصیت ذاتی خود تمایل به فردیت دارد ، عواطف را ضعیف و پیوندهای احساسی را سست می‏کند آنچه بشر امروز - و به طریق اولی بشر فردا - را وحدت وجهت می‏بخشد و آرمان مشترک می‏دهد و ملاک خیر و شر و باید و نباید برایش می‏گردد ، یک‏ فلسفه زندگی انتخابی آگاهانه آرمان خیز مجهز به منطق ، و به عبارت دیگر یک ایدئولوژی جامع و کامل است . بشر امروز بیشتر از بشر دیروز نیازمند به چنین فلسفه زندگی است ، فلسفه‏ای که قادر باشد به او دلبستگی و حقایقی ماوراء فرد و منافع فرد بدهد. ایدئولوژیها دو گونه‏اند : انسانی و گروهی ایدئولوژیهای انسانی‏ یعنی ایدئولوژیهائی که مخاطب آنها نوع انسان است نه قوم یا نژاد یا طبقه خاص ، و داعیه نجات نوع انسان را دارد نه نجات و رهائی گروه یا طبقه معین ، طرحی را که ارائه می‏دهد شامل همه انسانهاست نه دسته مخصوصی‏ ، پشتیبانان و حامیانی که جلب می‏کند از میان همه قشرها ، گروهها ، ملتها و طبقات است نه یک قشر یا گروه معین . ایدئولوژی گروهی ، برعکس ، مخاطبش گروه یا طبقه یا قشر خاص است و داعیه رهائی و نجات یا سیادت و برتری همان گروه را دارد و مخاطبش هم‏ تنها همان گروه است و طرحی هم که ارائه می‏دهد ویژه همان گروه است و تنها از میان همان گروه هم پشتیبان و حامی جذب می‏کند و سرباز می‏گیرد . هر یک از این دو نوع ایدئولوژی ، مبنی بر نوعی دید درباره انسان است‏ ایدئولوژی عام و انسانی مانند ایدئولوژی اسلامی نوعی شناخت از انسان دارد که از آن به فطرت تعبیر می‏شود از نظر اسلام ، انسان در جریان خلقت ، مقدم بر تاثیر عوامل تاریخی و عوامل اجتماعی ، دارای بعد وجودی خاص شده‏ و استعدادهایی والا که او را از حیوان متمایز می‏کند و به او هویت می‏بخشد به او داده شده است. بدون شک ایدئولوژی اسلامی از نوع اول و خاستگاه آن فطرت انسان است‏ لهذا مخاطب اسلام " الناس = عموم مردم " است. اسلام مکتب جامع و همه جانبه: اسلام که بر چنین جهان بینی بنیاد شده است مکتبی است جامع و واقع گرا در اسلام به همه جوانب نیازهای انسانی ، اعم از دنیائی یا آخرتی ، جسمی‏ یا روحی ، عقلی و فکری یا احساسی و عاطفی ، فردی یا اجتماعی توجه شده‏ است . مجموعه تعلیمات اسلامی سه بخش را تشکیل می‏دهد : الف . اصول عقاید ، یعنی چیزهائی که وظیفه هر فرد کوشش درباره تحصیل‏ عقیده درباره آنهاست کاری که در این زمینه بر عهده انسان است از نوع‏ کار تحقیقی و علمی است . ب . اخلاقیات ، یعنی خصلتهائی که وظیفه یک فرد مسلمان این است که‏ خویشتن را به آن خصلتها و خوبیها بیاراید و از اضداد آنها . خویشتن را دور نگه دارد کاری که در این زمینه بر عهده انسان است از نوع‏ مراقبت نفس و خودسازی است . ج . احکام ، یعنی دستورهائی که مربوط است به فعالیتهای خارجی و عینی‏ انسان ، اعم از فعالیتهای معاشی و معادی ، دنیوی و اخروی ، فردی و اجتماعی . اصول عقاید اسلامی بر حسب مذهب شیعه پنج اصل است : توحید ، عدل ، نبوت ، امامت ، معاد . لغزشگاههای اندیشه از نظر قرآن: 1- تکیه بر ظن و گمان بجای علم و یقین 2- میلها و هواهای نفسانی 3- شتابزدگی 4- سنت گرائی و گذشته نگری 5- شخصیت گرائی منابع تفکر در اسلام: قرآن که دعوت به تفکر و اندیشه می‏نماید علاوه بر اینکه راههای لغزش‏ اندیشه را ارائه داده است ، منابع تفکر را نیز ارائه داده است ، یعنی‏ موضوعاتی که شایسته است انسان در آن موضوعات فکر خویش را به کار اندازد و از آنها به عنوان منابع علم و اطلاع خویش بهره‏گیری نماید نیز ارائه داده است . 1- طبیعت: در سراسر قرآن آیات زیادی است که طبیعت ، یعنی زمین ، آسمان ، ستارگان ، خورشید ، ماه ، ابر ، باران ، جریان باد ، حرکت کشتیها در دریاها ، گیاهان ، حیوانات و بالاخره هر امر محسوسی را که بشر در اطراف‏ خود می‏بیند به عنوان موضوعاتی که درباره آن دقیقا باید اندیشید و تفکر و نتیجه گیری کرد یاد کرده است برای نمونه یک آیه ذکر می‏کنیم : « قل انظروا ما ذا فی السموات و الارض »( 2 ) . بگو به مردم : دقت و مطالعه کنید ببینید در آسمانها و زمین چه چیزهائی هست ؟ 2- تاریخ: در قرآن آیات بسیاری است که به مطالعه اقوام گذشته دعوت می‏کند و آن‏ را مانند یک منبع برای کسب علم معرفی می‏کند از نظر قرآن تاریخ بشر و تحولات آن بر طبق یک سلسله سنن و نوامیس صورت می‏گیرد ، عزتها و ذلتها و موفقیتها و شکستها و خوشبختیها و بدبختیهای تاریخی حسابهایی دقیق و منظم دارد و با شناختن آن حسابها و قانونها می‏توان تاریخ حاضر را تحت فرمان در آورد و به سود سعادت خود و مردم‏ حاضر از آن بهره‏گیری کرد . 3- ضمیر انسان: قرآن ضمیر انسانی را به عنوان یک منبع معرفت ویژه نام می‏برد از نظر قرآن ، سراسر خلقت آیات الهی و علائم و نشانه‏هایی برای کشف حقیقت است‏ قرآن از جهان خارج انسان به " آفاق " و از جهان درون انسان به " انفس‏ "تعبیر می‏کند ( 2 ) و از این راه اهمیت ویژه ضمیر انسانی را گوشزد می‏نماید اصطلاح " آفاق و انفس " در ادبیات اسلامی از همین جا پدید آمده‏ است .

برابری

دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخش‌های حقیقی و موهومی آنها دو به دو با یکدیگر برابر باشند. یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d.

نمادگذاری و اعمال جبری

مجموعه اعداد مختلط معمولاً با نشان داده می‌شود. اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند با در نظر گرفتن معادلهٔ i ² = −1

تقسیم اعداد مختلط را نیز می‌توان تعریف کرد (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به طور جبری بسته است.

میدان مختلط

اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال:

بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط a + bi به طور منحصربفرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی a را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیرمیدان از C می‌شود. واحد موهومی i عدد مختلط (0, 1) است. منظوراز تقسیم دو عدد مختلط یعنی یافتن عددی است مثل x + iy که در تساوی

a +ib = (c +id ).(x +iy)

صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم

a +ib = (cx -dy)+i(dx +cy)

پس کافی است اعداد x و y را چنان پیدا کنیم که در روابط

dx + cy = b, cx - dy = a صدق کنند. این دستگاه معادلات یک جواب یکتای زیر را دارد:

مگر آنکه c = d = 0 بنابراین البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر در

c - id

نیز بدست آوریم

ریشه nام اعداد مختلط

فرض کنید n یک عدد طبیعی باشد، عدد مختلط Z را ریشهٔ n ام عدد مختلط داده شدهٔ Z₀ می خوانند، هرگاه

اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:

مربع دو جمله ای

مربع سه جمله‌ای

مکعب مجموع دو جمله

مزدوج

اتحاد جمله مشترک

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (چاق و لاغر)

^[۲]

اویلر(اولر)

اتحاد لاگرانژ

نیوتونی

مجموعه (ریاضی)

مجموعه، از بنداشت‌های (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.

به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.

نظریه مجموعه‌ها در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی ریاضیات است.

مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضوها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شوند. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشند. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابراین منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایهٔ آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعهٔ Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.